Algebraische Geometrie 1. Teil - Allgemeine Theorie der kommutativen Ringe und Körper – Buch antiquarisch kaufen

leichte Gebrauchsspuren

193

174 g

Taschenbuch

Deutsch

Zustand siehe Bild/Bilder. Zusätzlich: Ecken und Kanten leicht bestoßen. Seiten und Buchschnitt etwas stärker abgedunkelt. Einband abgedunkelt. Buchschnitt siehe Bilder. Buchschnitt oben stärker verschmutzt.

Lieber Interessent, ich schaue alle Bücher hinsichtlich handschriftlicher Einträge, Anstreichungen oder ähnliches durch. Je mehr Seiten ein Buch hat, desto größer ist die Gefahr, dass ich mal etwas übersehe. Es kann allerdings dann nicht sehr viel sein. Sollte das also doch mal passieren, bitte ich um Verständnis und um Entschuldigung.

VORWORT

Den Gegenstand der algebraischen Geometrie bilden algebraische Gleichungen oder Systeme von algebraischen Gleichungen, sowie deren Lösungen. Betrachtet man nur die Gleichungen, so hat man es mit reiner Algebra zu tun, richtet man jedoch die Aufmerksamkeit auf ihre Lösungen und die von diesen gebildeten Nullstellengebilde oder Varietäten, so kommen geometrische und topologische Gesichtspunkte hinzu. Die Lösungen sind im allgemeinen durch analytische Funktionen darstellbar, daher bestehen auch enge Beziehungen zwischen algebraischer Geometrie und der Theorie der holomorphen Funktionen.
Gleichungssysteme sind algebraisch als Ideale eines Polynomringes zu deuten. Daher besteht die algebraische Seite unserer Theorie in der Untersuchung der Eigenschaften von Polynom- idealen. Diese Aufgabe wird aber besser in einem allgemeineren Rahmen gelöst, weil alle Sätze, die speziell auch für Ideale in Polynomringen gelten, viel einfacher und klarer in allgemeinen Noetherschen Ringen ausgesprochen und bewiesen werden können. Daher wird im vorliegenden I. Teil eine Allgemeine Theorie der kommutativen Ringe und Körper vorausgeschickt. Die nachfolgenden Teile werden Polynomringe über einem Grundkörper R behandeln. Dieser Körper ist in der klassischen algebraischen Geometrie der Körper der komplexen Zahlen. Heute läßt man beliebige Grundkörper zu, insbesondere auch Körper mit Primzahlcharakteristik. In diesem Fall können inseparable Erweiterungen nicht gut definitiv ausgeschlossen werden, was eine tiefreichende Spaltung der Theorie zur Folge hat. Es ist zweckmäßig diejenigen Entwicklungen der Theorie der Polynomideale, die ganz unabhängig von der besonderen Struktur des Grundkörpers sind, - das sind vor allem die Dimensionstheorie, Syzygientheorie und Hilbertfunktion - im 2. Teil zusammenzufassen; diesen Teil nenne ich die Arithmetische Theorie der Polynomideale. Der 3. Teil enthält dagegen die Geometrische Theorie der Polynomideale. Hier werden die Nullstellengebilde, Varietäten und algebraischen Mannigfaltigkeiten, die den Polynomidealen zugeordnet sind, auf ihre geometrischen Eigenschaften hin untersucht. Das Ordnungsprinzip liefern die birationalen Transformationen, das ist eine viel umfangreichere Gruppe als diejenige der linearen Transformationen, welche die analytische Geometrie beherrscht; sie decken sich aber auch nicht mit den topologischen Tranformationen (Homöomorphismen), weil sie zwar im allgemeinen, aber nicht ausnahmslos umkehrbar stetig (sogar rational) sind. Das Aufsuchen der Invarianten einer Klasse birational äquivalenter Varietäten ist eines der wichtigsten Probleme der algebraischen Geometrie, das von seiner Lösung im allgemeinen noch weit entfernt ist. Die vorliegende Bearbeitung beruht auf der idealtheoretischen Methode, die nicht zu denen zählt, die in den letzten Jahrzehnten von den tonführenden Autoritäten propagiert worden ist. Dadurch mögen einige Unterschiede gegenüber anderen Darstellungen und auch einige Lücken bedingt sein, die durch eine intensivere Bearbeitung leicht auszufüllen wären. Auch durch abweichende Definitionen können Unterschiede verursacht sein. So ist z.B. das Problem einer geeigneten Definition der „dynamischen“ Multiplizität, das oft beinahe als fundamentales Problem der algebraischen Geometrie hingestellt wird (es ist in Wahrheit nur ein Problem der abzählenden Geometrie), in unserer Bearbeitung überhaupt kein Problem; denn nach den richtungsweisenden Konzeptionen F. Severis kann jeder „dynamische“ Multiplizitätsbegriff aus dem „statischen“ Multiplizitätsbegriff der Idealtheorie durch Spezialisierung aus einer passend gewählten Einbettung abgeleitet werden.
Das Problem ist in unserer Bearbeitung auf die Frage der Grenzen der Gültigkeit des Bezoutschen Satzes verschoben worden, ein Problem, das durch die Arbeiten von B. RENSCHUCH und W. VOGEL bereits in einem sehr zufriedenstellenden Ausmaß geklärt worden ist!
Es freut mich, daß mir hier die Möglichkeit geboten ist, meinen Dank an die Mainzer Akademie der Wissenschaften und der Literatur auszusprechen für die langjährige Unterstützung, die mir durch die Vermittlung ihres Präsidenten P. JORDAN zuteil wurde und die es ermöglichte, einige Arbeiten auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie im Innsbrucker Mathematischen Institut zu fördern, die unserem Werke zugute kommen. Zuletzt danke ich meinem langjährigen Mitarbeiter H. REITBERGER für die kritische Durchsicht des Manuskripts und für die Unterstützung beim Lesen der Korrektur.

Innsbruck, April 1968
W. GRÖBNER

.

1968

BN16441